いわゆるMADアニメなど、一部分だけであれば使用はOKなのですか?

A:一部であっても無断使用は違法です。

  • ○秒以内なら勝手に使っても大丈夫
  • 勝手に使っても著作権表示しておけば大丈夫

などと本当の話のように語られることがありますが、著作権法上はそのような規定はありません。
一部であっても著作物を無断で使用すれば違法行為となります。

Youtubeなどの動画サイトにはよくMADと呼ばれる動画がありますが、それらも基本的にはすべて違法です。
しかしYoutubeは違法動画であっても広告をつけて権利者(著作者)に利益を還元するなどの方法を取っています。
権利者の判断次第で削除しないことも可能ですので、作品の売り上げに影響しないようなものであれば残されることもあります。
ただし基本的に違法は違法ですので、いつ削除されてもおかしくはありません。

当然ですが、使用されている素材が著作物でない場合は著作権侵害にはなりません。

引用なので合法になるのでは?

著作権法には引用という著作物を無断使用できる例外規定があります。
(⇒引用について参照)

引用であれば著作物の無断使用は可能なのですが、引用は「引用の目的上正当な範囲内」で「公正な慣行に合致」している必要があります。
一般的に言えばMADは引用として認められる可能性はごく低いでしょう。