Youtubeやニコニコ動画など、違法アップロードされたと思われるテレビやアニメを見ています。これは違法ダウンロードになりますか?

A:サイト上で見るだけであれば違法にはなりません。

Youtube等の動画サイトには権利者に無断でアップロードされた違法アップロード動画が多数あります。
これらを視聴する行為は好ましいことではありませんが、法律上は違法ダウンロードにはなりません。

ネット上で動画を見るだけでデータをダウンロードをしていることになりますが、このようなデータのダウンロードは電子計算機における著作物の利用に伴う複製という著作権の例外に該当し、違法にはならないとされます。

動画投稿サイト等から動画を視聴する際に,視聴するデータがコンピュータ内部に一時的に保存されることがありますが,このような情報の蓄積(キャッシュ)に関しては,今回の改正に盛り込まれている電子計算機における著作物利用に伴う複製に関する著作権の例外規定(第47条の8)が適用され,権利侵害にならないと考えられます。違法投稿された動画を視聴する際にコンピュータ内部に作成されるキャッシュについても同様です。
文化庁|平成21年通常国会 著作権法改正等について

著作権法の改正により、2019年1月1日より著作権法47条の8は著作権法47条の4に統合されています。

簡単に言えば、ネット上のサイトを閲覧するために行われる複製は合法的に行うことができる、という著作権の例外規定です。
あくまでもサイト上で直接視聴する場合ですので、データをパソコンやスマホ内に保存していつでも見られるような状態にすることは違法ダウンロードに該当します。
(詳しくは⇒キャッシュと違法ダウンロード参照)

ただし、違法なもので済ませてしまい正規品を購入しないというのは作者にとって不利益となります。
商品を購入することで作者にお金が入り、生活や今後の創作活動が維持できるわけですから、今後も作品を楽しみたいと思うのならきちんと購入するべきでしょう。
(⇒なぜ著作権は必要? )

(電子計算機における著作物の利用に付随する利用等)
第四十七条の四
電子計算機における利用(情報通信の技術を利用する方法による利用を含む。以下この条において同じ。)に供される著作物は、次に掲げる場合その他これらと同様に当該著作物の電子計算機における利用を円滑又は効率的に行うために当該電子計算機における利用に付随する利用に供することを目的とする場合には、その必要と認められる限度において、いずれの方法によるかを問わず、利用することができる。ただし、当該著作物の種類及び用途並びに当該利用の態様に照らし著作権者の利益を不当に害することとなる場合は、この限りでない。
一 電子計算機において、著作物を当該著作物の複製物を用いて利用する場合又は無線通信若しくは有線電気通信の送信がされる著作物を当該送信を受信して利用する場合において、これらの利用のための当該電子計算機による情報処理の過程において、当該情報処理を円滑又は効率的に行うために当該著作物を当該電子計算機の記録媒体に記録するとき。
二 自動公衆送信装置を他人の自動公衆送信の用に供することを業として行う者が、当該他人の自動公衆送信の遅滞若しくは障害を防止し、又は送信可能化された著作物の自動公衆送信を中継するための送信を効率的に行うために、これらの自動公衆送信のために送信可能化された著作物を記録媒体に記録する場合
三 情報通信の技術を利用する方法により情報を提供する場合において、当該提供を円滑又は効率的に行うための準備に必要な電子計算機による情報処理を行うことを目的として記録媒体への記録又は翻案を行うとき。