デスクトップ録画ソフト(キャプチャソフト)で画面を録画したら違法ダウンロードになりませんか?

A:違法な動画であれば違法ダウンロードに該当します。

「違法ダウンロード」という言葉が有名なので勘違いしてしまいますが、ダウンロード行為だけが対象になるわけではありません。
著作権法を読むと「デジタル方式の録音又は録画」と書かれていて、「ダウンロード」という言葉は使われていません。

デスクトップ録画ソフトなどで録画すればそれは「デジタルでの録画」になります。
違法ダウンロードは違法アップロードされた映像・音声著作物をダウンロード(デジタルでの録画または録音複製)する行為ですから、録画する動画が違法な動画であれば違法ダウンロードに該当することになります。

2021年1月施行の改正著作権法により、違法ダウンロードの条件から「映像と音声」はなくなり、全ての違法アップロードされている著作物が対象となりました。

ちなみに違法となる複製方法には「デジタル方式の録音又は録画」のほか「デジタル方式の複製」という文言も追加されています。

じゃあアナログならいいってこと?

法律上はアナログなら「違法ダウンロード」には該当しないことになります。
パソコンの画面をデジカメで撮影したり、アナログコードで接続して外部機器に録画・録音する行為は一応OKということです。
(パソコン内での処理はすべてデジタル方式ですので、パソコン内部だけで完結する処理に「アナログで保存」は不可能です)

しかし違法な動画を手元に置いておく行為は著作者の不利益にはなっても利益にはなりませんので、保存しないのが望ましいです。

(私的使用のための複製)
第三十条
著作権の目的となつている著作物(以下この款において単に「著作物」という。)は、個人的に又は家庭内その他これに準ずる限られた範囲内において使用すること(以下「私的使用」という。)を目的とするときは、次に掲げる場合を除き、その使用する者が複製することができる。
一 (略)
二 (略)
三 著作権を侵害する自動公衆送信(国外で行われる自動公衆送信であつて、国内で行われたとしたならば著作権の侵害となるべきものを含む。)を受信して行うデジタル方式の録音又は録画を、その事実を知りながら行う場合
四 著作権(第二十八条に規定する権利(翻訳以外の方法により創作された二次的著作物に係るものに限る。)を除く。以下この号において同じ。)を侵害する自動公衆送信(国外で行われる自動公衆送信であつて、国内で行われたとしたならば著作権の侵害となるべきものを含む。)を受信して行うデジタル方式の複製(録音及び録画を除く。以下この号において同じ。)(当該著作権に係る著作物のうち当該複製がされる部分の占める割合、当該部分が自動公衆送信される際の表示の精度その他の要素に照らし軽微なものを除く。以下この号及び次項において「特定侵害複製」という。)を、特定侵害複製であることを知りながら行う場合(当該著作物の種類及び用途並びに当該特定侵害複製の態様に照らし著作権者の利益を不当に害しないと認められる特別な事情がある場合を除く。)